2004年1月2日 星期五

三的事情

小學的時候,老師教我們如何分辨一個很大的數字能不能被2啦、3啦、4啦等數字整除。這些方法,我們從小就開始使用,簡單又方便,久而久之,這些已經變成像是九九乘法表一樣地被視為理所當然的基本法則(註一)。

只是,聰明的同學,你可曾認真想過,為什麼一個不管多大的數字的後兩位可以被4整除的話,這個數就是4的倍數。

今天我想要與大家分享的,是3的倍數法則:一個不管多大的數字,只要所有位數的數字加起來可以被3整除的話,這就是一個3的倍數。
讓我們來做個簡單的實驗:
1357924680 => 1+3+5+7+9+2+4+6+8+0 = 45 => 4+5 = 9 => 9可以被三整除,所以 1357924680是3的倍數
1357924680 = 3 * 452641560
同理
2468013579及1234567890及987654321這些數字,也必定是3的倍數  2468013579 = 3 * 822671193
1234567890 = 3 * 411522630
987654321 = 3 * 329218107

各位同學,如果已經超過十五歲的話,我相信你已經忘記第一次學到這招,那個瞬間的感動以及嘆服自然的奧妙。
事實上,這個結果一點也不自然!各位同學千萬要記得,數學這個東西,從頭到尾都是人類發明出來的,只不過發明數學的目的是用來解釋自然,所以一代一代地,我們才慢慢將數學視為天地萬物的一部分。

倍數3的法則和其他的法則都不一樣,居然是把所有位數的數字加起來除除看,第一個發現這個規則的人,實在幸運地叫人嫉妒,因為我們這個時代的同學,已經沒有機會靠自己發現這個奇妙的現象,只好稱呼那個第一人為天才。

她的原理如下:
1) 一個數字,不管乘以多少個10,它除以3的餘數都不會變。
若把這個數字命名為A 
(Ax10)/3 = (Ax(9+1))/3 = 9A/3 + A/3 
結果發現,一個數字乘以10所剩下的餘數,會等於9A除以3的餘數加上A除以3的餘數,而9A除以3是沒有餘數的,因而結論是,一個數字乘以10之後,餘數會和沒有乘以10之前相同。既然如此,乘以10之後再乘以一個10,得到的餘數也一定是相同的。

2) 以之前的例子來說
987654321 = 900000000 + 80000000 + 7000000 + 600000 + 50000 + 4000 + 300 + 20 + 1
所以987654321除以3的餘數,也就等於右邊所以數字除以3的餘數相加,而利用前面的發現,這餘數也就等於
9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 加起來之後除以3的餘數。

這個原理的關鍵在於,十進位的每一個位數,都恰好差了十倍,而十可以分解成9和1,9剛好可以被3整除。
由此可知,同樣的招式也可以用在9的倍數法則(前面例子中的所有數字,也恰好都是9的倍數)。引申一下的話,八進位的倍數7法則也是一模一樣的。

那麼聰明的同學們,你們是否也找到了十六進位的倍數3法則、倍數5法則及倍數15法則了呢?

註一:大部分這些法則只適用於十進位的數字。

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