三的事情

小學的時候，老師教我們如何分辨一個很大的數字能不能被２啦、３啦、４啦等數字整除。這些方法，我們從小就開始使用，簡單又方便，久而久之，這些已經變成像是九九乘法表一樣地被視為理所當然的基本法則（註一）。

只是，聰明的同學，你可曾認真想過，為什麼一個不管多大的數字的後兩位可以被４整除的話，這個數就是４的倍數。

今天我想要與大家分享的，是３的倍數法則：一個不管多大的數字，只要所有位數的數字加起來可以被３整除的話，這就是一個３的倍數。
讓我們來做個簡單的實驗：

1357924680 => 1+3+5+7+9+2+4+6+8+0 = 45 => 4+5 = 9 => ９可以被三整除，所以 1357924680是３的倍數
1357924680 = 3 * 452641560
同理
2468013579及1234567890及987654321這些數字，也必定是３的倍數 　2468013579 = 3 * 822671193
1234567890 = 3 * 411522630
987654321 = 3 * 329218107

各位同學，如果已經超過十五歲的話，我相信你已經忘記第一次學到這招，那個瞬間的感動以及嘆服自然的奧妙。
事實上，這個結果一點也不自然！各位同學千萬要記得，數學這個東西，從頭到尾都是人類發明出來的，只不過發明數學的目的是用來解釋自然，所以一代一代地，我們才慢慢將數學視為天地萬物的一部分。

倍數３的法則和其他的法則都不一樣，居然是把所有位數的數字加起來除除看，第一個發現這個規則的人，實在幸運地叫人嫉妒，因為我們這個時代的同學，已經沒有機會靠自己發現這個奇妙的現象，只好稱呼那個第一人為天才。

她的原理如下：
1) 一個數字，不管乘以多少個10，它除以３的餘數都不會變。

若把這個數字命名為A 

(Ax10)/3 = (Ax(9+1))/3 = 9A/3 + A/3 

結果發現，一個數字乘以１０所剩下的餘數，會等於９Ａ除以３的餘數加上Ａ除以３的餘數，而９Ａ除以３是沒有餘數的，因而結論是，一個數字乘以１０之後，餘數會和沒有乘以１０之前相同。既然如此，乘以１０之後再乘以一個１０，得到的餘數也一定是相同的。

2) 以之前的例子來說

987654321 = 900000000 + 80000000 + 7000000 + 600000 + 50000 + 4000 + 300 + 20 + 1
所以987654321除以３的餘數，也就等於右邊所以數字除以３的餘數相加，而利用前面的發現，這餘數也就等於
9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 加起來之後除以３的餘數。

這個原理的關鍵在於，十進位的每一個位數，都恰好差了十倍，而十可以分解成９和１，９剛好可以被３整除。
由此可知，同樣的招式也可以用在９的倍數法則（前面例子中的所有數字，也恰好都是９的倍數）。引申一下的話，八進位的倍數７法則也是一模一樣的。

那麼聰明的同學們，你們是否也找到了十六進位的倍數３法則、倍數５法則及倍數１５法則了呢？

註一：大部分這些法則只適用於十進位的數字。